Aplicaciones de las Integrales

El origen de los métodos que ahora empleamos para resolver integrales definidas,  se remonta a más de 2000 años, cuando los griegos para resolver el problema del cálculo del área de ciertas figuras geométricas, idearon el procedimiento de exhaución: Dada una región cuya área quiere determinarse, se inscriben en ella sucesivas regiones poligonales cuyas áreas se aproximen cada vez mejor al área de la región que queremos determinar; procediendo ahora por "paso al límite" podremos determinar el área buscada. Este método fue usado satisfactoriamente por Arquímedes (287-212 a. C.) para hallar la fórmula exacta del área del círculo.

Gradualmente, este método ha ido transformándose en una herramienta muy importante que tiene numerosas aplicaciones en todas las ciencias entre ellas la resolución de los problemas ya mencionados en clase  y de otros, tales como, el cálculo del centro de gravedad de un cuerpo, áreas, volúmenes, longitudes,  estudiar el movimiento de los cuerpos y la electricidad, calcular el trabajo, la fuerza de atracción de la gravedad, entre otros.

 

Investigar:

1)En la actualidad, ¿en qué consiste el método de exhaución?

2)¿Cómo se llama al Teorema utilizado para calcular el área entre dos curvas?

3)¿Quién fue Arquímedes?

4)¿Cómo relaciona esta teoría con su aplicación en la vida diaria?

Teoremas de Funciones

Para las funciones y dependiendo de sus características existen teoremas que nos ayudan a visualizar ciertos comportamientos de las mismas. Tales como:

TEOREMA DE ROLLE

Sea f definida en [a,b], verificando:

1. f es continua en el intervalo cerrado [a,b].
2. f es derivable en el intervalo abierto (a,b).
3. f(a) = f(b).

En estas condiciones existe al menos un punto del interior del intervalo x₀ c (a,b) en el que se anula la derivada primera: f´(x₀) = 0 ; es decir, la recta tangente a la función en ese punto es horizontal.

TEOREMA DE LAGRANGE o TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA EL CÁLCULO DIFERENCIAL o TEOREMA DE LOS INCREMENTOS FINITOS

Sea f definida en [a,b], verificando:

1. f es continua en el intervalo cerrado [a,b].
2. f es derivable en el intervalo abierto (a,b).

En estas condiciones existe un punto del interior del intervalo x₀ c (a,b) tal que 

TEOREMA DE CAUCHY (TEOREMA GENERALIZADO DEL VALOR MEDIO)

Sean f y g definidas en [a,b] verificando:

1. Son continuas en el cerrado [a,b]
2. Son derivables en el abierto (a,b) 
3.  g(a)  ≠   g(b)

 d. 

Entonces

 

TEOREMA DE L'HÔPITAL

Sean f y g derivables en un entorno reducido de a: E^*(a,r) verificando:

1.               
    
   
   y        
   
   
   
2. Existe

 Entonces 

Ahora bien, estos teoremas fueron enunciados por grandes matemáticos de la época.

Investigar:

 

1)¿Quiénes los enunciaron?

2)Realizar una mini biografía de los mismos.

3)¿Cuáles son las aplicaciones de dichos teoremas?

La Derivada

La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente, por lo tanto,  la derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. 
Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. En términos físicos, representa la cuantía del cambio que se produce sobre una magnitud.

En física se estudia el movimiento de los objetos: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. 

Por ejemplo: Si un avión realiza un vuelo transatlántico de 4500 km entre las 12:00 y las 18:00 horas, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.

Investigar:

1.- ¿Cuál es la interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto?

2.- ¿Qué relación guarda la integral con la derivada?

3.- ¿Qué relación tiene el concepto de límite con la derivada?

4.- Nombre cuatro aplicaciones de la derivada en la vida diaria.